本文将介绍如何使用混合整数约束来表达设备「最小连续启停时间约束」。

想必点进来阅读的读者已经具备一定的数学基础，那容许我快点介绍一下问题的背景。工程上为了保护一些设备，会要求设备启停满足最小连续启停时间，即机器启动至少要运行一段时间才能关闭，反之关闭后只要等一段时间才能关闭。例如，现在某个设备的最小连续启停时间分别是 4 小时和 2 小时，这就意味着这个机器启动后，至少运行 4 小时才能关闭；某时刻关闭后，至少等 2 小时才能启动。如果研究的优化问题涉及这类设备，那么要怎样建模才能将这个条件用数学语言表达呢？

这个问题也可以换问的更大一点：如何用数学语言表达逻辑约束关系？答案是有的，那就是引入「0 - 1」变量，「0」表示「否」，「1」表示「是」。对于这个问题，首先，可以引入 3 组「0 - 1」变量：

• $ x_t $ 表示 t 时间段设备的运行状态，「0」表示关闭，「1」表示运行
• $ u_{up, t} $ 表示 t 时间段开始时刻是否执行开机操作，「0」表示不执行开机操作，「1」表示执行开机操作
• $ u_{down, t} $ 表示 t 时间段开始时刻是否执行关机操作，「0」表示不执行关机操作，「1」表示执行关机操作

设设备的最小连续启动时间是 $ T_{up, \min} $，最小连续停机时间是 $ T_{down, \min} $，运行周期是 $ T $，设备在某个时间段内启停状态单一。于是，最小连续启停时间约束可以表达为：

$$ \begin{cases} x_t-x_{t-1}=u_{up, t}-u_{down, t}\\ 0\leqslant u_{down, t}+u_{up, t}\leqslant 1\\ T_{up, \min}\cdot u_{up,t}\leqslant \sum_{t=h}^{h+T_{up, \min}-1}{x_t}, \forall h=1,...,T-T_{up, \min}+1\\ T_{down, \min}\cdot u_{down, t}\leqslant \sum_{t=h}^{h+T_{down, \min}-1}{x_t}, \forall h=1,...,T-T_{down, \min}+1\\ \end{cases} $$

以上的数学表达来源于「Bi-level sizing optimization of a distributed solar hybrid CCHP system considering economic, energy, and environmental objectives」，DOI：10.1016/j.ijepes.2022.108684，我对他第一个式子做了一些小修改，我把我的思路放在下面。